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> 已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x+m在区间[0,π3]上的最大值为2.(Ⅰ)求常数m的值;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=1,sinB=3s
已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x+m在区间[0,π3]上的最大值为2.(Ⅰ)求常数m的值;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=1,sinB=3s
题目简介
已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x+m在区间[0,π3]上的最大值为2.(Ⅰ)求常数m的值;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=1,sinB=3s
题目详情
已知函数f(x)=
2
3
sinxcosx+2co
s
2
x+m
在区间[0,
π
3
]上的最大值为2.
(Ⅰ)求常数m的值;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=1,sinB=3sinC,△ABC面积为
3
3
4
,求边长a.
题型:解答题
难度:中档
来源:浙江模拟
答案
(1)由于
f(x)=2
3
sinx•cosx+2co
s
2
x+m
=
2sin(2x+
class="stub"π
6
)+m+1
,-----(2分)
因为
x∈[0 ,
class="stub"π
3
]
,所以
2x+
class="stub"π
6
∈[
class="stub"π
6
,
class="stub"5π
6
]
.-------(3分)
因为函数y=sint在区间
[
class="stub"π
6
,
class="stub"π
2
]
上是增函数,在区间
[
class="stub"π
2
,
class="stub"5π
6
]
上是减函数,
所以当
2x+
class="stub"π
6
=
class="stub"π
2
,即
x=
class="stub"π
6
时,函数f(x)在区间
[0 ,
class="stub"π
3
]
上取到最大值为2.----(5分)
此时,
f(x
)
max
=f(
class="stub"π
6
)=m+3=2
,得m=-1.-------(6分)
(2)因为f(A)=1,所以
2sin(2A+
class="stub"π
6
)=1
,
即
sin(2A+
class="stub"π
6
)=
class="stub"1
2
,解得A=0(舍去)或
A=
class="stub"π
3
.----(8分)
因为sinB=3sinC,
class="stub"a
sinA
=
class="stub"b
sinB
=
class="stub"c
sinC
,所以b=3c.①-------(10分)
因为△ABC面积为
3
3
4
,所以
S=
class="stub"1
2
bcsinA=
class="stub"1
2
bcsin
class="stub"π
3
=
3
3
4
,即bc=3.-----②
由①和②解得b=3,c=1.-------(12分)
因为
a
2
=
b
2
+
c
2
-2bc•cosA=
3
2
+
1
2
-2×3×1×cos
class="stub"π
3
,所以
a=
7
.---(14分)
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△ABC中,AB=a,AC=b,若a•b<0,则△AB
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在△ABC中,若(cosA+sinA)(cosB+sin
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(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=1,sinB=3sinC,△ABC面积为
答案
因为x∈[0 ,
因为函数y=sint在区间[
所以当2x+
此时,f(x)max=f(
(2)因为f(A)=1,所以2sin(2A+
即sin(2A+
因为sinB=3sinC,
因为△ABC面积为
由①和②解得b=3,c=1.-------(12分)
因为a2=b2+c2-2bc•cosA=32+12-2×3×1×cos