已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x+m在区间[0,π3]上的最大值为2.(Ⅰ)求常数m的值;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=1,sinB=3s

题目简介

已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x+m在区间[0,π3]上的最大值为2.(Ⅰ)求常数m的值;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=1,sinB=3s

题目详情

已知函数f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x+m
在区间[0,
π
3
]上的最大值为2.
(Ⅰ)求常数m的值;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=1,sinB=3sinC,△ABC面积为
3
3
4
,求边长a.
题型:解答题难度:中档来源:浙江模拟

答案

(1)由于 f(x)=2
3
sinx•cosx+2cos2x+m
=2sin(2x+class="stub"π
6
)+m+1
,-----(2分)
因为x∈[0 , class="stub"π
3
]
,所以2x+class="stub"π
6
∈[class="stub"π
6
 , class="stub"5π
6
]
.-------(3分)
因为函数y=sint在区间[class="stub"π
6
 , class="stub"π
2
]
上是增函数,在区间[class="stub"π
2
 , class="stub"5π
6
]
上是减函数,
所以当2x+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
,即x=class="stub"π
6
时,函数f(x)在区间[0 , class="stub"π
3
]
上取到最大值为2.----(5分)
此时,f(x)max=f(class="stub"π
6
)=m+3=2
,得m=-1.-------(6分)
(2)因为f(A)=1,所以2sin(2A+class="stub"π
6
)=1

sin(2A+class="stub"π
6
)=class="stub"1
2
,解得A=0(舍去)或A=class="stub"π
3
.----(8分)
因为sinB=3sinC,class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
=class="stub"c
sinC
,所以b=3c.①-------(10分)
因为△ABC面积为
3
3
4
,所以S=class="stub"1
2
bcsinA=class="stub"1
2
bcsinclass="stub"π
3
=
3
3
4
,即bc=3.-----②
由①和②解得b=3,c=1.-------(12分)
因为a2=b2+c2-2bc•cosA=32+12-2×3×1×cosclass="stub"π
3
,所以a=
7
.---(14分)

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