已知函数f(x)=3sinωxcosωx-cos2ωx+12(ω>0,x∈R)的最小正周期为π2.(1)求f(2π3)的值,并写出函数f(x)的图象的对称中心的坐标;(2)当x∈[π3,π2]时,求函

题目简介

已知函数f(x)=3sinωxcosωx-cos2ωx+12(ω>0,x∈R)的最小正周期为π2.(1)求f(2π3)的值,并写出函数f(x)的图象的对称中心的坐标;(2)当x∈[π3,π2]时,求函

题目详情

已知函数f(x)=
3
sinωxcosωx-cos2ωx+
1
2
(ω>0,x∈R)的最小正周期为
π
2

(1)求f(
3
)的值,并写出函数f(x)的图象的对称中心的坐标;
(2)当x∈[
π
3
π
2
]时,求函数f(x)的单调递减区间.
题型:解答题难度:中档来源:成都二模

答案

f(x)=
3
sinωxcosωx-cos2ωx+class="stub"1
2

=
3
2
sin2ωx-class="stub"1
2
 cos2ωx
=sin(2ωx-class="stub"π
6
),
(1)∵函数的最小正周期为class="stub"π
2
,ω>0
∴ω=2,
即f(x)=sin(4x-class="stub"π
6
),
∴f(class="stub"2π
3
)=sin(class="stub"8π
3
-class="stub"π
6
)=sinclass="stub"π
2
=1,
令4x-class="stub"π
6
=kπ,
解得x=class="stub"kπ
4
+class="stub"π
24

所以函数的对称中心坐标为(class="stub"kπ
4
+class="stub"π
24
,0)(k∈Z)
(2)当x∈[class="stub"π
3
class="stub"π
2
]时,4x-class="stub"π
6
∈[class="stub"7π
6
class="stub"11π
6
]
∵当4x-class="stub"π
6
∈[class="stub"7π
6
class="stub"3π
2
]时,函数f(x)为减函数
∴当x∈[class="stub"π
3
class="stub"π
2
]时,函数f(x)的单调递减区间为[class="stub"π
3
class="stub"5π
12
].

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