首页 > 已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且(AB)2=AB•AC+BA•BC+CA•CB．（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求t=sinA+sinB的取值范围；（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（

已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且(AB)2=AB•AC+BA•BC+CA•CB．（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求t=sinA+sinB的取值范围；（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（

题目简介

已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且(AB)2=AB•AC+BA•BC+CA•CB．（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求t=sinA+sinB的取值范围；（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（

题目详情

已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判断△ABC的形状，并求t=sinA+sinB的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
，
∴
(AB)2
=
AB
(
AC
+
CB
)  +
CA
•
CB
，即
AB2
=
AB
•
AB
+
CA
•
CB
，即
CA
•
CB
=0．
∴△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
2
sin（A+class="stub"π
4
），A∈（0，class="stub"π
2
），
∴sinA+sinB的取值范围为(1，
2
]．-------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）在直角△ABC中，a=csinA，b=ccosA．
若a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
则有
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
≥k，对任意的满足题意的a、b、c都成立，
∵
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc

=class="stub"1
c3sinAcosA
[c2sin2A（ccosA+c）+c2cos2A（csinA+c）+c2（csinA+ccosA）]
=class="stub"1
sinAcosA
[sin2AcosA+cos2A sinA+1+cosA+sinA]=cosA+sinA+class="stub"1+cosA+sinA
sinAcosA

令t=sinA+cosA，t∈(1，
2
]，-----------------------------------------（10分）
设f（t）=
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
=t+class="stub"1+t
class="stub"t2-1
2
=t+class="stub"2
t-1
=t-1+class="stub"2
t-1
+1．
f（t）=t-1+class="stub"2
t-1
+1，当t-1∈(0，
2
-1]时 f（t）为单调递减函数，
∴当t=
2
时取得最小值，最小值为2+3
2
，即k≤2+3
2
．
∴k的取值范围为（-∞，2+3
2
]．--------------------------（14分）

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