在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB=34.(Ⅰ)求sin2B2+sin2B的值;(Ⅱ)若b=3,当ac取最大值时,求△ABC的面积.-数学

题目简介

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB=34.(Ⅰ)求sin2B2+sin2B的值;(Ⅱ)若b=3,当ac取最大值时,求△ABC的面积.-数学

题目详情

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB=
3
4

(Ⅰ)求sin2
B
2
+sin2B
的值;
(Ⅱ)若b=
3
,当ac取最大值时,求△ABC的面积.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(本小题满分13分)
(Ⅰ)∵cosB=class="stub"3
4
,且B为三角形的内角,
∴sinB=
1-cos2B
=
7
4
,…(1分)
sin2class="stub"B
2
+sin2B=class="stub"1
2
(1-cosB)+2sinBcosB

=class="stub"1
8
+
7
4
×class="stub"3
4
=
1+3
7
8
;…(5分)
(Ⅱ)由余弦定理得:cosB=
a2+c2-b2
2ac
,…(7分)
b=
3
,cosB=class="stub"3
4

a2+c2-3=class="stub"3
2
ac
,…(8分)
a2+c2=class="stub"3
2
ac+3≥2ac

∴ac≤6,当且仅当a=c=
6
时,ac取得最大值,…(11分)
此时S△ABC=class="stub"1
2
acsinB=class="stub"1
2
×6×
7
4
=
3
7
4

则当ac取最大值时,△ABC的面积为
3
7
4
.…(13分)

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