首页 > 向量m=（sinωx+cosωx，3cosωx）（ω＞0），n=（cosωx-sinωx，2sinωx），函数f（x）=m•n+t，若f（x）图象上相邻两个对称轴间的距离为3π2，且当x∈[0，π]时

向量m=（sinωx+cosωx，3cosωx）（ω＞0），n=（cosωx-sinωx，2sinωx），函数f（x）=m•n+t，若f（x）图象上相邻两个对称轴间的距离为3π2，且当x∈[0，π]时

题目简介

向量m=（sinωx+cosωx，3cosωx）（ω＞0），n=（cosωx-sinωx，2sinωx），函数f（x）=m•n+t，若f（x）图象上相邻两个对称轴间的距离为3π2，且当x∈[0，π]时

题目详情

向量m=（sinωx+cosωx，
3
cosωx）（ω＞0），n=（cosωx-sinωx，2sinωx），函数f（x）=m•n+t，若f（x）图象上相邻两个对称轴间的距离为
3π
2
，且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．
（1）求函数f（x）的表达式，并求f（x）的增区间；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cos B+cos（A-C），求sin A的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）函数f（x）=m•n+t=cos2ωx+
3
sin2ωx+t=2sin（2ωx+class="stub"π
6
）+t，由 class="stub"3π
2
=class="stub"π
ω
，
ω=class="stub"2
3
，∴f（x）=2sin(class="stub"2
3
x+class="stub"π
6
)+ t．当x∈[0，π]时，class="stub"π
6
≤ class="stub"2
3
x+class="stub"π
6
≤class="stub"5π
6
，
函数f（x）的最小值为 1+t=0，∴t=-1，∴f(x)=2sin(class="stub"2
3
x+class="stub"π
6
)-1．
由 2kπ-class="stub"π
2
≤class="stub"2
3
x+class="stub"π
6
≤ 2kπ+class="stub"π
2
，k∈z，可得   3kπ-π≤x≤3kπ+class="stub"π
2
，
故f（x）的增区间为   [3kπ-π，3kπ+class="stub"π
2
]，k∈z．
（2）∵f（C）=1=2sin（class="stub"2C
3
+class="stub"π
6
 ）-1，∴sin（class="stub"2C
3
+class="stub"π
6
 ）=1，由 0＜C＜π 可得，，
 class="stub"π
6
＜class="stub"2C
3
+class="stub"π
6
＜class="stub"5π
6
，∴class="stub"2C
3
+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
，C=class="stub"π
2
，A+B=class="stub"π
2
． 
又  2sin2B=cos B+cos（A-C），∴2 cos2A=sinA+sinA，∴sinA=
5
-1
2
．

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