已知A、B、C是△ABC的三个内角,y=cotA+2sinAcosA+cos(B-C).(1)若任意交换两个角的位置,y的值是否变化?试证明你的结论.(2)求y的最小值.-数学

题目简介

已知A、B、C是△ABC的三个内角,y=cotA+2sinAcosA+cos(B-C).(1)若任意交换两个角的位置,y的值是否变化?试证明你的结论.(2)求y的最小值.-数学

题目详情

已知A、B、C是△ABC的三个内角,y=cotA+
2sinA
cosA+cos(B-C)

(1)若任意交换两个角的位置,y的值是否变化?试证明你的结论.
(2)求y的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵y=cotA+
2sin[π-(B+C)]
cos[π-(B+C)]+cos(B-C)

=cotA+
2sin(B+C)
-cos(B+C)+cos(B-C)

=cotA+class="stub"sinBcosC+cosBsinC
sinBsinC

=cotA+cotB+cotC,
∴任意交换两个角的位置,y的值不变化.

(2)∵cos(B-C)≤1,
∴y≥cotA+class="stub"2sinA
1+cosA
=
1-tan2class="stub"A
2
2tanclass="stub"A
2
+2tanclass="stub"A
2
=class="stub"1
2
(cotclass="stub"A
2
+3tanclass="stub"A
2
)≥
3tanclass="stub"A
2
•cotclass="stub"A
2
=
3

故当A=B=C=class="stub"π
3
时,ymin=
3

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