已知函数f(x)=sin2(x-π6)+cos2(x-π3)+sinx•cosx,x∈R.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x的值;(2)求f(x)在[0,π]上的单调增区间.-数学

题目简介

已知函数f(x)=sin2(x-π6)+cos2(x-π3)+sinx•cosx,x∈R.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x的值;(2)求f(x)在[0,π]上的单调增区间.-数学

题目详情

已知函数f(x)=sin2(x-
π
6
)+cos2(x-
π
3
)+sinx•cosx,x∈R.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x的值;
(2)求f(x)在[0,π]上的单调增区间.
题型:解答题难度:中档来源:徐州模拟

答案

(1)由题意得,
f(x)=(sinxcosclass="stub"π
6
-cosxsinclass="stub"π
6
)2
+(cosxcosclass="stub"π
3
+sinxsinclass="stub"π
3
)
2
+sinx•cosx
=sin2x+sinx•cosx+class="stub"1
2
=class="stub"1
2
(sin2x-cos2x)
+1
=
2
2
sin(2x-class="stub"π
4
)+1

2x-class="stub"π
4
=class="stub"π
2
+2kπ
(k∈Z),
即x=class="stub"3π
8
+kπ
(k∈Z)时,函数f(x)取最大值为:
2
2
+1

(2)由0≤x≤π得,-class="stub"π
4
≤2x-class="stub"π
4
≤class="stub"7π
4

∴函数f(x)=
2
2
sin(2x-class="stub"π
4
)+1
的增区间是:[-class="stub"π
4
class="stub"π
2
].

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