设函数f(x)=sin(πx4-π6)-2cos2πx8+1.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期.(Ⅱ)若y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈[0,43]时y=g(x)的最大值.-数

题目简介

设函数f(x)=sin(πx4-π6)-2cos2πx8+1.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期.(Ⅱ)若y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈[0,43]时y=g(x)的最大值.-数

题目详情

设函数f(x)=sin(
πx
4
-
π
6
)-2cos2
πx
8
+1

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期.
(Ⅱ)若y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈[0,
4
3
]
时y=g(x)的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:重庆

答案

(1)f(x)=sinclass="stub"π
4
xcosclass="stub"π
6
-cosclass="stub"π
4
xsinclass="stub"π
6
-cosclass="stub"π
4
x
=
3
2
sinclass="stub"π
4
x-class="stub"3
2
cosclass="stub"π
4
x
=
3
sin(class="stub"π
4
x-class="stub"π
3
)

故f(x)的最小正周期为T=class="stub"2π
class="stub"π
4
=8
(2)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于x=1的对称点(2-x,g(x)).
由题设条件,点(2-x,g(x))在y=f(x)的图象上,
从而g(x)=f(2-x)=
3
sin[class="stub"π
4
(2-x)-class="stub"π
3
]
=
3
sin[class="stub"π
2
-class="stub"π
4
x-class="stub"π
3
]
=
3
cos(class="stub"π
4
x+class="stub"π
3
)

0≤x≤class="stub"4
3
时,class="stub"π
3
≤class="stub"π
4
x+class="stub"π
3
≤class="stub"2π
3
时,
因此y=g(x)在区间[0,class="stub"4
3
]
上的最大值为gmax=
3
cosclass="stub"π
3
=
3
2

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