在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0.(Ⅰ)求角B的值;(Ⅱ)若a+c=4,求△ABC面积S的最大值.-数学

题目简介

在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0.(Ⅰ)求角B的值;(Ⅱ)若a+c=4,求△ABC面积S的最大值.-数学

题目详情

在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且(2a+c)cosB+bcosC=0.
(Ⅰ)求角B的值;
(Ⅱ)若a+c=4,求△ABC面积S的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解  (Ⅰ)由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0
得2sinAcosB+sin(C+B)=0,
因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,得2sinAcosB+sinA=0,因为sinA≠0,
所以cosB=-class="stub"1
2
,又B为三角形的内角,所以B=class="stub"2π
3

(Ⅱ)因为S=class="stub"1
2
acsinB
,由B=class="stub"2π
3
及a+c=4得S=class="stub"1
2
a(4-a)sinclass="stub"2π
3
=
3
4
(4a-a2)
=
3
4
[4-(a-2)2]

又0<a<4,所以当a=2时,S取最大值
3
  …(3分)

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