已知三角形的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量m=(2a-c,b),n=(cosC,cosB),若m∥n.(1)求角B的大小;(2)若△ABC的面积为3,求AC边的最小值,并指明此时三

题目简介

已知三角形的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量m=(2a-c,b),n=(cosC,cosB),若m∥n.(1)求角B的大小;(2)若△ABC的面积为3,求AC边的最小值,并指明此时三

题目详情

已知三角形的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量
m
=(2a-c,b)
n
=(cosC,cosB)
,若
m
n

(1)求角B的大小;
(2)若△ABC的面积为
3
,求AC边的最小值,并指明此时三角形的形状.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)
m
=(2a-c,b),
n
=(cosC,cosB)
,∵
m
n
,∴(2a-c)cosB=bcosC.
由正弦定理得:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
整理得:2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC,
即2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,∵sinA>0,∴cosB=class="stub"1
2

∵0<B<π,∴B=class="stub"π
3
. …(6分)
(2)由已知得:S△ABC=class="stub"1
2
acsinB=
3
,B=class="stub"π
3
,∴ac=4.
由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当“a=c”时取等号.
∴AC的最小值为2,此时三角形为等边三角形.…(12分)

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