在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(cos3A2,sin3A2),n=(cosA2,sinA2),且满足|m+n|=3,(1)求角A的大小;(2)若b+c=3a,试判断△A

题目简介

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(cos3A2,sin3A2),n=(cosA2,sinA2),且满足|m+n|=3,(1)求角A的大小;(2)若b+c=3a,试判断△A

题目详情

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知向量
m
=(cos
3A
2
,sin
3A
2
)
n
=(cos
A
2
,sin
A
2
)
,且满足|
m
+
n
|=
3

(1)求角A的大小;
(2)若b+c=
3
a
,试判断△ABC的形状.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵|
m
+
n
|=
3
,∴|
m
+
n
| 2=2+  cosA=3
,∴cosA=class="stub"1
2
,∴A=class="stub"π
3


(2)∵b+c=
3
a
,∴a2=
(b+c)2
3
,∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
2b2-2bc+2c2
6bc
=class="stub"1
2
,∴2b2-5bc+2c2=0,∴b=2c,b=class="stub"c
2

    当b=2c时,a2+c2=3c2+c2=4c2=b2,△ABC是以∠C为直角的直角三角形
    当b=class="stub"c
2
时,a2+b2=c2,△ABC是以∠B为直角的直角三角形
    终上所述:△ABC是直角三角形

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