首页 > 已知函数f(x)=23sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)，且函数f（x）的最小正周期为π．（1）若x∈(-π6，π]，求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象上各点

已知函数f(x)=23sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)，且函数f（x）的最小正周期为π．（1）若x∈(-π6，π]，求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象上各点

题目简介

已知函数f(x)=23sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)，且函数f（x）的最小正周期为π．（1）若x∈(-π6，π]，求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象上各点

题目详情

已知函数f(x)=2
3
sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)，且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）若x∈(-
π
6
，π]，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
1
2
，把所得到的图象再向左平移
π
6
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，
π
8
]上的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f(x)=2
3
sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)
∴利用三角函数的降次公式，得f（x）=
3
sin（2ωx）+cos（2ωx）=2sin（2ωx+class="stub"π
6
）
∵函数f（x）的最小正周期为T=class="stub"2π
2ω
=π
∴2ω=2，可得函数f（x）的解析式为：y=2sin（2x+class="stub"π
6
）
令class="stub"π
2
+2kπ＜2x+class="stub"π
6
＜class="stub"3π
2
+2kπ，得class="stub"π
6
+kπ＜x＜class="stub"2π
3
+kπ，其中k是整数，
∵x∈(-class="stub"π
6
，π]，
∴取k=0，得x∈(class="stub"π
6
，class="stub"2π
3
)
所以函数f（x）的单调递减区间是(class="stub"π
6
，class="stub"2π
3
)；
（2）函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的class="stub"1
2
，
所得函数解析式为：y=2sin（4x+class="stub"π
6
）
再把所得到的图象再向左平移class="stub"π
6
个单位，得到函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=2sin[4（x+class="stub"π
6
）+class="stub"π
6
]=2sin（4x+class="stub"5π
6
）
∵函数y=g（x）定义在区间[0，class="stub"π
8
]上，
∴4x+class="stub"5π
6
∈[class="stub"5π
6
，class="stub"4π
3
]⇒sinclass="stub"4π
3
≤sin（4x+class="stub"5π
6
）≤sinclass="stub"5π
6

即-
3
2
≤sin（4x+class="stub"5π
6
）≤class="stub"1
2

∴函数y=g（x）的值域为[-
3
，1]，函数的最小值为-
3
．

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