已知函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x-1x∈[π4,π2](1)求f(x)的单调递增区间;(2)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[π4,π2]上恒成立,求实数m的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x-1x∈[π4,π2](1)求f(x)的单调递增区间;(2)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[π4,π2]上恒成立,求实数m的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2sin2(
π
4
+x)-
3
cos2x-1   x∈[
π
4
π
2
]

(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[
π
4
π
2
]
上恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=2sin2(class="stub"π
4
+x) -
3
cos2x -1
=-cos(class="stub"π
2
+2x)-
3
cos2x=sin2x-
3
cos2x=
2sin(2x-class="stub"π
3
)

由 2kπ-class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"π
2
,k∈z,可得 kπ-class="stub"π
12
≤x≤kπ+class="stub"5π
12
,,k∈z.
再由x∈[class="stub"π
4
,class="stub"π
2
]
,可得 x∈[class="stub"π
4
,class="stub"5π
12
]
,故f(x)的单调递增区间 [class="stub"π
4
,class="stub"5π
12
]

(2)不等式|f(x)-m|<2,即 m-2<f(x)<m+2.
x∈[class="stub"π
4
,class="stub"π
2
]
 时,class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
3
class="stub"2π
3
,∴class="stub"1
2
≤sin(2x-class="stub"π
3
)≤1,1≤f(x)≤2.
∵不等式|f(x)-m|<2在x∈[class="stub"π
4
,class="stub"π
2
]
上恒成立,
∴m-2<1 且 m+2>2,
解得 0<m<3,故实数m的取值范围为(0,3).

更多内容推荐