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已知函数f（x）=cos2ωx+3sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）若f(θ)=-12，求θ的值；（2）求函数f（x）的单调区间及其图象的对称轴方程．-数学

题目简介

已知函数f（x）=cos2ωx+3sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）若f(θ)=-12，求θ的值；（2）求函数f（x）的单调区间及其图象的对称轴方程．-数学

题目详情

已知函数f（x）=cos2ωx+
3
sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）若f(θ)=-
1
2
，求θ的值；
（2）求函数f（x）的单调区间及其图象的对称轴方程．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f（x）=cos2ωx+
3
sinωxcosωx=class="stub"1
2
（1+cos2ωx）+
3
2
sin2ωx=class="stub"1
2
+sin（2ωx+class="stub"π
6
）．
三角函数的周期性及其求法，因为f（x）最小正周期为π，所以 class="stub"2π
2ω
=1，解得ω=1，
由题意f(θ)=-class="stub"1
2
 可得  sin(2θ+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
=-class="stub"1
2
，sin(2θ+class="stub"π
6
)=-1，2θ+class="stub"π
6
=2kπ-class="stub"π
2
，
所以θ=kπ-class="stub"π
3
，k∈Z．
（2）由 2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
，k∈z，可得 kπ-class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6
，k∈z，故函数的增区间为[kπ-class="stub"π
3
，kπ+class="stub"π
6
]，k∈z．
同理，由2kπ+class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"3π
2
，k∈z，可得 kπ+class="stub"π
6
≤x≤kπ+class="stub"2π
3
，k∈z，故函数的减区间为[kπ+class="stub"π
6
，kπ+class="stub"2π
3
]，k∈z．
由 2x+class="stub"π
6
=kπ+class="stub"π
2
，k∈z 得 x=class="stub"k
2
π+class="stub"π
6
，k∈z．
所以，f（x）图象的对称轴方程为  x=class="stub"k
2
π+class="stub"π
6
，k∈z．

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