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已知函数f（x）=cos2x5+sin2x5（x∈R），给出以下命题：①函数f（x）的最大值是2；②周期是5π2；③函数f（x）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离是5π2；④对任意x∈R，均有f（5π

题目简介

已知函数f（x）=cos2x5+sin2x5（x∈R），给出以下命题：①函数f（x）的最大值是2；②周期是5π2；③函数f（x）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离是5π2；④对任意x∈R，均有f（5π

题目详情

已知函数f（x）=cos
2x
5
+sin
2x
5
（x∈R），给出以下命题：①函数f（x）的最大值是2；②周期是
5π
2
；③函数f（x）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离是
5π
2
； ④对任意x∈R，均有f（5π-x）=f（x）成立；⑤点（
15π
8
，0）是函数f（x）图象的一个对称中心．其中正确命题的序号是______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

∵函数f（x）=cosclass="stub"2x
5
+sinclass="stub"2x
5
=
2
sin（class="stub"2x
5
+class="stub"π
4
） （x∈R），故其最大值等于
2
，周期等于 class="stub"2π
class="stub"2
5
=5π，两条相邻的对称轴之间的距离是class="stub"5π
2
，
故①②不正确，③正确．
令class="stub"2x
5
+class="stub"π
4
=kπ+class="stub"π
2
，k∈z，可得 x=class="stub"5kπ
2
+class="stub"5π
8
，k∈z，故函数f（x）的对称轴为 x=class="stub"5kπ
2
+class="stub"5π
8
，k∈z，故函数不关于x=class="stub"5π
2
对称，故④不正确．
当x=class="stub"15π
8
时，函数f（x）=
2
sin（class="stub"2
5
×class="stub"15π
8
+class="stub"π
4
）=sinπ=0，故点（class="stub"15π
8
，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故⑤正确．
综上，只有③⑤正确，
故答案为：③⑤．

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