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设函数f(x)=acos2ωx+3acosωxsinωx+b(0＜ω＜2，a≠0)，x=π6是其函数图象的一条对称轴．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若f（x）的定义域为[-π3，π3]，值域为[-1，5]，求

题目简介

设函数f(x)=acos2ωx+3acosωxsinωx+b(0＜ω＜2，a≠0)，x=π6是其函数图象的一条对称轴．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若f（x）的定义域为[-π3，π3]，值域为[-1，5]，求

题目详情

设函数f(x)=acos2ωx+
3
acosωxsinωx+b(0＜ω＜2，a≠0)，x=
π
6
是其函数图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（x）的定义域为[-
π
3
，
π
3
]，值域为[-1，5]，求a，b的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵函数f(x)=acos2ωx+
3
acosωxsinωx+b(0＜ω＜2，a≠0)=class="stub"a
2
+class="stub"a
2
cos（2ωx）+
3
2
asin（2ωx）=b+class="stub"a
2
+acos（2ωx-class="stub"π
3
），
再由 x=class="stub"π
6
是其函数图象的一条对称轴，可得 2ω•class="stub"π
6
-class="stub"π
3
=kπ，k∈z，ω=3k+1，
∴ω=1．
（Ⅱ）由（1）可得 f（x）=b+class="stub"a
2
+acos（2x-class="stub"π
3
），再根据x∈[-class="stub"π
3
，class="stub"π
3
]，可得 2x-class="stub"π
3
∈[-π，class="stub"π
3
]，故cos（2x-class="stub"π
3
）∈[-1，1]．
再由函数f（x）的值域为[-1，5]，可得 ①
a＞0
b+class="stub"a
2
=5
b-class="stub"a
2
=-1
，或②
a＜0
b+class="stub"a
2
=-1
b-class="stub"a
2
=5
．
由①可得
a=6
b=2
，解②可得
a=-6
b=2
．
综上可得
a=6
b=2
，或  
a=-6
b=2
．

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