已知f(x)=2cos2x+23sinxcosx+a(x∈R)(a为常数)(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间;(Ⅲ)若f(x)的最大值与最小值之和为3,求a的值.-数学

题目简介

已知f(x)=2cos2x+23sinxcosx+a(x∈R)(a为常数)(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间;(Ⅲ)若f(x)的最大值与最小值之和为3,求a的值.-数学

题目详情

已知f(x)=2cos2x+2
3
sinxcosx+a(x∈R)(a为常数)
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)若f(x)的最大值与最小值之和为3,求a的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

由题意得,
f(x)=2cos2x+2
3
sinxcosx+a=2sin(2x+class="stub"π
6
)+a+1

(Ⅰ)T=class="stub"2π
2
=π,
(Ⅱ)由2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
得,
kπ-class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6
(k∈z),
∴f(x)单调递增区间为[kπ-class="stub"π
3
,kπ+class="stub"π
6
](k∈Z)

(Ⅲ)∵f(x)max=2+a+1=a+3,
f(x)min=-2+a+1=a-1,
∴(a+3)+(a-1)=3,解得a=class="stub"1
2

则a的值是class="stub"1
2

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