首页 > 已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（Ⅰ）求f(π8)的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右

已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（Ⅰ）求f(π8)的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右

题目简介

已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（Ⅰ）求f(π8)的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右

题目详情

已知函数f(x)=
3
sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为
π
2
．
（Ⅰ）求f(
π
8
)的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移
π
6
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
题型：解答题难度：中档来源：山东

答案

（Ⅰ）f(x)=
3
sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2[
3
2
sin(ωx+φ)-class="stub"1
2
cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ-class="stub"π
6
)．
∵f（x）为偶函数，
∴对x∈R，f（-x）=f（x）恒成立，
∴sin(-ωx+φ-class="stub"π
6
)=sin(ωx+φ-class="stub"π
6
)．
即-sinωxcos(φ-class="stub"π
6
)+cosωxsin(φ-class="stub"π
6
)=sinωxcos(φ-class="stub"π
6
)+cosωxsin(φ-class="stub"π
6
)，
整理得sinωxcos(φ-class="stub"π
6
)=0．
∵ω＞0，且x∈R，所以cos(φ-class="stub"π
6
)=0．
又∵0＜φ＜π，故φ-class="stub"π
6
=class="stub"π
2
．
∴f(x)=2sin(ωx+class="stub"π
2
)=2cosωx．
由题意得class="stub"2π
ω
=2•class="stub"π
2
，所以ω=2．
故f（x）=2cos2x．
∴f(class="stub"π
8
)=2cosclass="stub"π
4
=
2
．
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移class="stub"π
6
个单位后，得到f(x-class="stub"π
6
)的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f(class="stub"x
4
-class="stub"π
6
)的图象．
∴g(x)=f(class="stub"x
4
-class="stub"π
6
)=2cos[2(class="stub"x
4
-class="stub"π
6
)]=2cos(class="stub"x
2
-class="stub"π
3
)．
当2kπ≤class="stub"x
2
-class="stub"π
3
≤2kπ+π（k∈Z），
即4kπ+class="stub"2π
3
≤x≤4kπ+class="stub"8π
3
（k∈Z）时，g（x）单调递减，
因此g（x）的单调递减区间为[4kπ+class="stub"2π
3
，4kπ+class="stub"8π
3
]（k∈Z）．

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