在锐角△ABC中,角A、B、C成等差数列,(1+cos2A)(1+cos2C)=3-12(Ⅰ)证明:cosAcosC=12[cos(A+C)+cos(A-C)];(Ⅱ)试比较a+2b与3c的大小,并说

题目简介

在锐角△ABC中,角A、B、C成等差数列,(1+cos2A)(1+cos2C)=3-12(Ⅰ)证明:cosAcosC=12[cos(A+C)+cos(A-C)];(Ⅱ)试比较a+2b与3c的大小,并说

题目详情

在锐角△ABC中,角A、B、C成等差数列,
(1+cos2A)(1+cos2C)
=
3
-1
2

(Ⅰ)证明:cosAcosC=
1
2
[cos(A+C)+cos(A-C)]

(Ⅱ)试比较a+
2
b
3
c
的大小,并说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)证明:∵cos(A+C)+cos(A-C)=cosAcosC-sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=2cosAcosC,
两边同时除以2可得cosAcosC=class="stub"1
2
[cos(A+C)+cos(A-C)]

(Ⅱ)在锐角△ABC中,因为A、B、C成等差数列,所以B=60°,A+C=120°.
2cos2A•2cos2C
=2cosAcosC=cos(A+C)+cos(A-C)=-class="stub"1
2
+cos(A-C)

(1+cos2A)(1+cos2C)
=
2cos2A•2cos2C
=
3
- 1
2

-class="stub"1
2
+cos(A-C)
=
3
- 1
2
,∴cos(A-C)=
3
2

∵-900<A-C<900,A+C=120°,故有 A-C=±30°,sin750=
6
+
2
4

当A<C时,A=45°,C=75°,此时
a+
2
b
3
c
=
sin450+
2
sin600
3
sin750
6
+
2
2
2•
6
+
2
4
=1
,所以a+
2
b
3
c

当A>C时,A=75°,C=45°,
a+
2
b
3
c
=
sin750+
2
sin600
3
sin450
>1,所以a+
2
b
3
c

综合得 a+
2
b
3
c

更多内容推荐