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已知△ABC的三个内角A，B，C满足：A+C=2B，1cosA+1cosC=-2cosB，求cosA-C2的值．-数学

题目简介

已知△ABC的三个内角A，B，C满足：A+C=2B，1cosA+1cosC=-2cosB，求cosA-C2的值．-数学

题目详情

已知△ABC的三个内角A，B，C满足：A+C=2B，
1
cosA
+
1
cosC
=-
2
cosB
，求cos
A-C
2
的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

由题设条件知B=60°，A+C=120°．
∵
-
2
cos60°
=-2
2
，
∴class="stub"1
cosA
+class="stub"1
cosC
=-2
2

将上式化为cosA+cosC=-2
2
cosAcosC
利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cosclass="stub"A+C
2
cosclass="stub"A-C
2
=-
2
[cos(A+C)+cos(A-C)]
将cosclass="stub"A+C
2
=cos60°=class="stub"1
2
，cos(A+C)=-class="stub"1
2
代入上式得cos(class="stub"A-C
2
)=
2
2
-
2
cos(A-C)
将cos(A-C)=2cos2(class="stub"A-C
2
)-1代入上式并整理得4
2
cos2(class="stub"A-C
2
)+2cos(class="stub"A-C
2
)-3
2
=0(2cosclass="stub"A-C
2
-
2
)(2
2
cosclass="stub"A-C
2
+3)=0，
∵2
2
cosclass="stub"A-C
2
+3≠0，
∴2cosclass="stub"A-C
2
-
2
=0.
从而得cosclass="stub"A-C
2
=
2
2
.

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