已知A,B,C为△ABC的三个内角,向量a=(655sinA+B2,cosA-B2),且|a|=355.(1)求tanA•tanB的值;(2)求C的最大值,并判断此时△ABC的形状.-数学

题目简介

已知A,B,C为△ABC的三个内角,向量a=(655sinA+B2,cosA-B2),且|a|=355.(1)求tanA•tanB的值;(2)求C的最大值,并判断此时△ABC的形状.-数学

题目详情

已知A,B,C为△ABC的三个内角,向量
a
=(
65
5
sin
A+B
2
,cos
A-B
2
)
,且|
a
|=
3
5
5

(1)求tanA•tanB的值;
(2)求C的最大值,并判断此时△ABC的形状.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵|
a
|=class="stub"3
5
5
,∴class="stub"13
5
sin2class="stub"A+B
2
+cos2class="stub"A-B
2
=class="stub"9
5

class="stub"13
5
1-cos(A+B)
2
+
1+cos(A-B)
2
=class="stub"9
5

∴13cos(A+B)=5cos(A-B)∴4cosAcosB=9sinAsinB,
∵cosAcosB≠0∴tanAtanB=class="stub"4
9

(2)由tanAtanB=class="stub"4
9
>0

tanA,tanB>0,tanA+tanB≥2
tanAtanB
=class="stub"4
3
tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-class="stub"tanA+tanB
1-tanAtanB
=-class="stub"9
5
(tanA+tanB)
≤-class="stub"9
5
×2
tanAtanB
=-class="stub"12
5

当且仅当tanA=tanB,即A=B时,tanC取得最大值-class="stub"12
5

所以C为钝角,△ABC一定是钝角三角形.

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