已知向量m=(cosB2,12)与向量n=(12,cosB2)共线,其中A、B、C是△ABC的内角.(1)求角B的大小;(2)求2sin2A+cos(C-A)的取值范围.-数学

题目简介

已知向量m=(cosB2,12)与向量n=(12,cosB2)共线,其中A、B、C是△ABC的内角.(1)求角B的大小;(2)求2sin2A+cos(C-A)的取值范围.-数学

题目详情

已知向量m=(cos
B
2
1
2
)与向量n=(
1
2
cos
B
2
)共线,其中A、B、C是△ABC的内角.
(1)求角B的大小;
(2)求2sin2A+cos(C-A)的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵
m
=(cosclass="stub"B
2
class="stub"1
2
)与
n
=(class="stub"1
2
cosclass="stub"B
2
)共线,
cosclass="stub"B
2
cosclass="stub"B
2
=class="stub"1
4

cosclass="stub"B
2
=±class="stub"1
2

又0<B<π,
∴0<class="stub"B
2
class="stub"π
2
cosclass="stub"B
2
=class="stub"1
2

class="stub"B
2
=class="stub"π
3
,即B=class="stub"2π
3


(2)由(1)知A+C=class="stub"π
3

C=class="stub"π
3
-A

∴2sin2A+cos(C-A)=2sin2A+cos(class="stub"π
3
-2A)
=1-cos2A+class="stub"1
2
cos2A+
3
2
sin2A
=1+sin(2A-class="stub"π
6
)

∵0<A<class="stub"π
3

-class="stub"π
6
2A-class="stub"π
6
class="stub"π
2

sin(2A-class="stub"π
6
)
∈(-class="stub"1
2
,1).
1+sin(2A-class="stub"π
6
)
∈(class="stub"1
2
,2),
即2sin2A+cos(C-A)的取值范围是(class="stub"1
2
,2).

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