首页 > 已知a=(53cosx，cosx)，b=(sinx，2cosx)，记函数f(x)=a•b+|b|2．（1）求函数f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

已知a=(53cosx，cosx)，b=(sinx，2cosx)，记函数f(x)=a•b+|b|2．（1）求函数f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

题目简介

已知a=(53cosx，cosx)，b=(sinx，2cosx)，记函数f(x)=a•b+|b|2．（1）求函数f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

题目详情

已知
a
=(5
3
cosx，cosx)，
b
=(sinx，2cosx)，记函数f(x)=
a
•
b
+|
b
|2．
（1）求函数f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

因为
a
=(5
3
cosx，cosx)，
b
=(sinx，2cosx)，
所以f(x)=
a
•
b
+|
b
|2=5
3
sinxcosx+2cos2x+sin2x+4cos2x
=5
3
sinxcosx+6cos2x+sin2x
=
5
3
2
sin2x+class="stub"1-cos2x
2
+3(1+cos2x)
=
5
3
sin2x+5cos2x+7
2

=5sin（2x+class="stub"π
6
）+class="stub"7
2
，
∴T=class="stub"2π
2
=π．
当x∈{x|x=class="stub"π
6
+kπ，k∈Z}时，f（x）的最大值为class="stub"17
2
．
当x∈{x|x=class="stub"2π
3
+kπ，k∈Z}时，f（x）的最小值为-class="stub"3
2
．
（2）f（x）的单调增区间为：2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
，
∴kπ-class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6
，
令k=0，-class="stub"π
3
≤x≤class="stub"π
6
∴0≤x≤class="stub"π
6
，
k=1，class="stub"2π
3
≤x≤class="stub"7π
6
∴class="stub"2π
3
≤x≤π．
f（x）在[0，π]上的单调递增区间：[0，class="stub"π
6
]，[class="stub"2π
3
，π]．

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