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已知函数f（x）=asinx•cosx-3acos2x+32a+b（a＞0）（1）化简函数的解析式将其写成f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式；（2）求函数的单调递减区间及函数图象的对称中心；（3

题目简介

已知函数f（x）=asinx•cosx-3acos2x+32a+b（a＞0）（1）化简函数的解析式将其写成f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式；（2）求函数的单调递减区间及函数图象的对称中心；（3

题目详情

已知函数f（x）=asinx•cosx-
3
acos2x+
3
2
a+b（a＞0）
（1）化简函数的解析式将其写成f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式；
（2）求函数的单调递减区间及函数图象的对称中心；
（3）当x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最小值是-2，最大值是
3
，求实数a，b的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）函数f（x）=asinx•cosx-
3
acos2x+
3
2
a+b
=class="stub"1
2
asin2x-
3
aclass="stub"1+cos2x
2
+
3
2
a+b
=asin（2x-class="stub"π
3
）+b （4分）
（2）令：class="stub"π
2
+2kπ≤2x-class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"3π
2
，k∈Z，
得-class="stub"π
12
+kπ≤x≤kπ+class="stub"5π
12
，k∈Z，
故函数的单调减区间是[-class="stub"π
12
+kπ，kπ+class="stub"5π
12
]， k∈Z． （6分）
令 2x-class="stub"π
3
=kπ，解得x=class="stub"π
6
+class="stub"kπ
2
，
∴函数图象的对称中心为(class="stub"π
6
+class="stub"kπ
2
，b)，k∈Z，（8分）
（3）∵当x∈[0，class="stub"π
2
]时，2x-class="stub"π
3
∈[-class="stub"π
3
，class="stub"2π
3
]，
故-
3
2
≤sin（2x-class="stub"π
3
）≤1 （10分）
f（x）的最小值是-2，最大值是
3
，
又∵a＞0，∴
a+b=
3
-
3
2
a+b=-2
解得
a=2
b=
3
-2
  （12分）

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