首页 > 已知函数f（x）=sin2ωx+3sinωxsin(π2-ωx)（ω＞0）的相邻两条对称轴的距离为π2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π2]上的取值范围．-数学

已知函数f（x）=sin2ωx+3sinωxsin(π2-ωx)（ω＞0）的相邻两条对称轴的距离为π2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π2]上的取值范围．-数学

题目简介

已知函数f（x）=sin2ωx+3sinωxsin(π2-ωx)（ω＞0）的相邻两条对称轴的距离为π2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π2]上的取值范围．-数学

题目详情

已知函数f（x）=sin2ωx+
3
sinωxsin(
π
2
-ωx)（ω＞0）的相邻两条对称轴的距离为
π
2
．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（满分（12分），其中（Ⅰ）小问（7分），（Ⅱ）小问5分）
f(x)=class="stub"1-cos2ωx
2
+
3
2
sin2ωx=
3
2
sin2ωx-class="stub"1
2
cos2ωx+class="stub"1
2
=sin(2ωx-class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
．
函数f（x）的最小正周期为π，得到ω=1．则f(x)=sin(2x-class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
…（4分）
（Ⅰ）由2kπ-class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
，得到kπ+class="stub"π
6
≤x≤kπ+class="stub"π
3

故f（x）的递增区间为[kπ+class="stub"π
6
，kπ+class="stub"π
3
]，k∈Z．…（7分）
（Ⅱ）因为0≤x≤class="stub"π
2
，所以-class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
6
≤class="stub"5π
6
，
所以-class="stub"1
2
≤sin(2x-class="stub"π
6
)≤1．…（10分）
因此0≤sin(2x-class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
≤class="stub"3
2
，即f（x）的取值范围为[0，class="stub"3
2
]．        …（12分）

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