已知函数f(x)=2sinxcosx-3cos2x+1(x∈R).(I)求f(x)的最小正周期;(II)求f(x)在区间x∈[π4,π2]上的最大值和最小值;(III)若不等式[f(x)-m]2<4对

题目简介

已知函数f(x)=2sinxcosx-3cos2x+1(x∈R).(I)求f(x)的最小正周期;(II)求f(x)在区间x∈[π4,π2]上的最大值和最小值;(III)若不等式[f(x)-m]2<4对

题目详情

已知函数f(x)=2sinxcosx-
3
cos2x+1
(x∈R).
(I)求f(x)的最小正周期;
(II)求f(x)在区间x∈[
π
4
π
2
]
上的最大值和最小值;
(III)若不等式[f(x)-m]2<4对任意x∈[
π
4
π
2
]
恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)f(x)=sin2x-
3
cos2x+1=2sin(2x-class="stub"π
3
)+1
,故T=π;
(II)∵x∈[class="stub"π
4
,class="stub"π
2
]

class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
3
≤class="stub"2
3
π
,于是1≤2sin(2x-class="stub"π
3
)≤2
,即2≤f(x)≤3,
即f(x)max=3,当x=class="stub"5π
12
时取得;f(x)min=2,当x=class="stub"π
4
时取得.
(III)[f(x)-m]2<4对任意x∈[class="stub"π
4
,class="stub"π
2
]
恒成立等价于
m>f(x)-2
m<f(x)+2
恒成立,
由(II)得1<m<4.
∴实数m的取值范围是1<m<4.

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