已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,角B所对的边b=3,且函数f(x)=23sin2x+2sinxcosx一3在x=A处取得最大值.(1)求函数f(x)的值域及周期;(2)求△ABC的面积.-

题目简介

已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,角B所对的边b=3,且函数f(x)=23sin2x+2sinxcosx一3在x=A处取得最大值.(1)求函数f(x)的值域及周期;(2)求△ABC的面积.-

题目详情

已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,角B所对的边b=
3
,且函数f(x)=2
3
sin2x+2sinxcosx一
3
在x=A处取得最大值.
(1)求函数f(x)的值域及周期;
(2)求△ABC的面积.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)△ABC的边b=
3
,它的三个内角A,B,C成等差数列,∴2B=A+C,再由三角形的内角和公式求得B=class="stub"π
3
,A+C=class="stub"2π
3

又函数f(x)=2
3
sin2x+2sinxcosx一
3
=2
3
class="stub"1-cos2x
2
+sin2x-
3
=-
3
cos2x+sin2x=sin(2x-class="stub"π
3
),
故有正弦函数的定义域和值域可得函数f(x)的值域为[-2,2],且最小正周期为 class="stub"2π
2
=π.
(2)由于函数f(x)在x=A处取得最大值,故有sin(2A-class="stub"π
3
)=1,∴2A-class="stub"π
3
=class="stub"π
2
,A=class="stub"5π
12
,故C=class="stub"π
4

再由正弦定理可得
3
sinclass="stub"π
3
=class="stub"c
sinclass="stub"π
4
,求得c=
2
,∴△ABC的面积为 class="stub"1
2
bc•sinA=class="stub"1
2
×
3
×
2
×sin(class="stub"π
4
+class="stub"π
6

=
6
2
2
2
×
3
2
+
2
2
×class="stub"1
2
)=
3+
3
4

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