首页 > 已知向量m=（sinA，cosA），n=（3，-1），（m-n）⊥m，且A为锐角．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．-数学

已知向量m=（sinA，cosA），n=（3，-1），（m-n）⊥m，且A为锐角．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．-数学

题目简介

已知向量m=（sinA，cosA），n=（3，-1），（m-n）⊥m，且A为锐角．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．-数学

题目详情

已知向量
m
=（sinA，cosA），
n
=（
3
，-1），（
m
-
n
）⊥
m
，且A为锐角．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由题意得，向量
m
=（sinA，cosA），
n
=（
3
，-1），可得
m
•
n
=
3
sinA-cosA，
再由（
m
-
n
）⊥
m
，可得（
m
-
n
）•
m
=
m
2-
m
•
n
=1-
3
sinA+cosA=2sin（A-class="stub"π
6
）-1=0，
解得 sin（A-class="stub"π
6
）=class="stub"1
2
．
再由A为锐角得 A-class="stub"π
6
=class="stub"π
6
，故有A=class="stub"π
3
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=class="stub"1
2
，所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=class="stub"3
2
-2(sinx-class="stub"1
2
)2，
因为x∈R，所以sinx∈[-1，1]，因此，当sinx=class="stub"1
2
时，f（x）有最大值class="stub"3
2
，
当sinx=-1时，f（x）有最小值-3，所以所求函数f（x）的值域是[-3，class="stub"3
2
]．

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