首页 > 已知空间向量a=(sinα-1，1)，b=(1，1-cosα)，a•b=15，α∈（0，π2）．（1）求sin2α及sinα，cosα的值；（2）设函数f（x）=5cos（2x-α）+cos2x（x∈

已知空间向量a=(sinα-1，1)，b=(1，1-cosα)，a•b=15，α∈（0，π2）．（1）求sin2α及sinα，cosα的值；（2）设函数f（x）=5cos（2x-α）+cos2x（x∈

题目简介

已知空间向量a=(sinα-1，1)，b=(1，1-cosα)，a•b=15，α∈（0，π2）．（1）求sin2α及sinα，cosα的值；（2）设函数f（x）=5cos（2x-α）+cos2x（x∈

题目详情

已知空间向量
a
=(sinα-1，1)，
b
=(1，1-cosα)，
a
•
b
=
1
5
，α∈（0，
π
2
）．
（1）求sin2α及sinα，cosα的值；
（2）设函数f（x）=5cos（2x-α）+cos2x（x∈R），求f（x）的最小正周期和图象的对称中心坐标；
（3）求函数f（x）在区间[-
11π
24
，-
5π
24
]上的值域．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意可得
a
•
b
=（sinα-1）+（1-cosα）=sinα-cosα=class="stub"1
5
 ①，且α为锐角．
平方可得1-2sinαcosα=class="stub"1
25
，即sin2α=class="stub"24
25
②．
由①②解得 sinα=class="stub"4
5
，cosα=class="stub"3
5
．
（2）∵函数f（x）=5cos（2x-α）+cos2x=5cos2xcosα+5sin2xsinα+cos2x=4sin2x+4cos2x
=4
2
sin（2x+class="stub"π
4
），
故函数f（x）的最小正周期为class="stub"2π
2
=π．
令2x+class="stub"π
4
=kπ，k∈z，可得x=class="stub"kπ
2
-class="stub"π
8
，故对称中心的坐标为（class="stub"kπ
2
-class="stub"π
8
，0），k∈z．
（3）由于当x∈[-class="stub"11π
24
，-class="stub"5π
24
] 时，（2x+class="stub"π
4
）∈[-class="stub"2π
3
，-class="stub"π
6
]，
故-1≤sin（2x+class="stub"π
4
）≤-class="stub"1
2
，-4
2
≤4
2
sin（2x+class="stub"π
4
）≤-2
2
，
故函数f（x）的值域为[-4
2
，-2
2
]．

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