首页 > 已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2，x∈R（其中ω＞0）（I）求函数f（x）的值域；（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直

已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2，x∈R（其中ω＞0）（I）求函数f（x）的值域；（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直

题目简介

已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+sin(ωx-π6)-2cos2ωx2，x∈R（其中ω＞0）（I）求函数f（x）的值域；（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直

题目详情

已知函数f(x)=sin(ωx+
π
6
)+sin(ωx-
π
6
)-2cos2
ωx
2
，x∈R（其中ω＞0）
（I）求函数f（x）的值域；
（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．
题型：解答题难度：中档来源：辽宁

答案

（I）f(x)=
3
2
sinωx+class="stub"1
2
cosωx+
3
2
sinωx-class="stub"1
2
cosωx-(cosωx+1)=2(
3
2
sinωx-class="stub"1
2
cosωx)-1=2sin(ωx-class="stub"π
6
)-1
由-1≤sin(ωx-class="stub"π
6
)≤1，得-3≤2sin(ωx-class="stub"π
6
)-1≤1可知函数f（x）的值域为[-3，1]．
（II）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f（x）的周期为π，
又由ω＞0，得class="stub"2π
ω
=π，即得ω=2．
于是有f(x)=2sin(2x-class="stub"π
6
)-1，再由2kπ-class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
(k∈Z)，
解得kπ-class="stub"π
6
≤x≤kπ+class="stub"π
3
(k∈Z)．
B1所以y=f（x）的单调增区间为[kπ-class="stub"π
6
，kπ+class="stub"π
3
](k∈Z).

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