首页 > 如图，几何体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且BB1=2a，E为CC1的中点，F为

如图，几何体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且BB1=2a，E为CC1的中点，F为

题目简介

如图，几何体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且BB1=2a，E为CC1的中点，F为

题目详情

如图，几何体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且BB1=
2
a，E为CC1的中点，F为AB的中点．
（Ⅰ）求证：△DB1E为等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角B1-DE-F的余弦值．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：青岛一模

答案

（I）证明：连接BD，交AC于O，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以BD=a
因为BB1、CC1都垂直于面ABCD，∴BB1∥CC1，又面B1C1D1∥面ABCD，∴BC∥B1C1
所以四边形BCC1B1为平行四边形，则B1C1=BC=a
因为BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，则DB1=
DB2+BB12
=
a2+2a2
=
3
aDE=
DC2+CE2
=
a2+
a2
2
=
6
a
2
，B1E=
B1C12+C1E2
=
a2+
a2
2
=
6
a
2

所以DE2+B1E2=
6a2+6a2
4
=3a2=DB12
所以△DB1E为等腰直角三角形；
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（II）取DB1的中点H，因为O，H分别为DB，DB1的中点，所以OH∥BB1
以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，
则D(0，-class="stub"a
2
，0)，E(-
3
2
a，0，
2
2
a)，B1(0，class="stub"a
2
，
2
a)，F(
3
4
a，class="stub"a
4
，0)
所以
DB1
=(0，a，
2
a)，
DE
=(-
3
2
a，class="stub"a
2
，
2
2
a)，
DF
=(
3
4
a，class="stub"3
4
a，0)
设面DB1E的法向量为
n1
=(x1，y1，z1)，
则
n1
•
DB1
=0，
n1
•
DE
=0，即ay1+
2
az1=0且-
3
2
ax1+class="stub"a
2
y1+
2
2
az1=0
令z1=1，则
n1
=(0，-
2
，1)
设面DFE的法向量为
n2
=(x2，y2，z2)，
则
n2
•
DF
=0，
n2
•
DE
=0即
3
4
ax2+class="stub"3
4
ay2=0且-
3
2
ax2+class="stub"a
2
y2+
2
2
az2=0
令x2=1，则
n2
=(1，-
3
3
，
2
6
3
)
则cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|
n1
||
n2
|
=
6
3
+
2
6
3
3
×
1+class="stub"1
3
+class="stub"8
3
=
2
2
，则二面角B1-DE-F的余弦值为
2
2
．

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