已知函数f(x)=sin(π2-x)cosx-sinx•cos(π+x).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)在△ABC中,若A为锐角,且f(A)=1,BC=2,B=π3,求AC边的长.-数学

题目简介

已知函数f(x)=sin(π2-x)cosx-sinx•cos(π+x).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)在△ABC中,若A为锐角,且f(A)=1,BC=2,B=π3,求AC边的长.-数学

题目详情

已知函数f(x)=sin(
π
2
-x)cosx-sinx•cos(π+x).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)在△ABC中,若A为锐角,且f(A)=1,BC=2,B=
π
3
,求AC边的长.
题型:解答题难度:中档来源:宜宾一模

答案

(Ⅰ)函数f(x)=sin(class="stub"π
2
-x)cosx-sinx•cos(π+x)=cos2x+sinxcosx…(2分)
=class="stub"1
2
(sin2x+cos2x+1)=
2
2
sin(2x+class="stub"π
4
)+class="stub"1
2
…(3分)
-class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
4
≤class="stub"π
2
+2kπ
,可得x∈[-class="stub"3π
8
+kπ,class="stub"π
8
+kπ]

所以函数f(x)的单调增区间为:[-class="stub"3π
8
+kπ,class="stub"π
8
+kπ]
(k∈Z)  …(5分)
同理可得函数f(x)的单调减区间为[class="stub"π
8
+kπ,class="stub"5π
8
+kπ]
(k∈Z)…(6分)
(Ⅱ)因为f(A)=1,所以
2
2
sin(2A+class="stub"π
4
)+class="stub"1
2
=1
所以sin(2A+class="stub"π
4
)=
2
2

因为A为锐角,所以class="stub"π
4
<2A+class="stub"π
4
<class="stub"5π
4
 …(8分)
所以2A+class="stub"π
4
=class="stub"3π
4
,所以A=class="stub"π
4
            …(9分)
在△ABC中,由正弦定理得,class="stub"BC
sinA
=class="stub"AC
sinB
,即class="stub"2
sinclass="stub"π
4
=class="stub"AC
sinclass="stub"π
3
…(11分)
∴AC=
6
   …(12分)

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