首页 > 已知向量a=（1-tanx，1），b=（1+sin2x+cos2x，-3），记f（x）=a•b（1）求f（x）的值域及最小正周期；（2）若f(α2)-f(α2+π4)=6，其中α∈(0，π2)，求角α

已知向量a=（1-tanx，1），b=（1+sin2x+cos2x，-3），记f（x）=a•b（1）求f（x）的值域及最小正周期；（2）若f(α2)-f(α2+π4)=6，其中α∈(0，π2)，求角α

题目简介

已知向量a=（1-tanx，1），b=（1+sin2x+cos2x，-3），记f（x）=a•b（1）求f（x）的值域及最小正周期；（2）若f(α2)-f(α2+π4)=6，其中α∈(0，π2)，求角α

题目详情

已知向量
a
=（1-tanx，1），
b
=（1+sin2x+cos2x，-3），记f（x）=
a
•
b

（1）求f（x）的值域及最小正周期；
（2）若f(
α
2
)-f(
α
2
+
π
4
)=
6
，其中α∈(0， 
π
2
)，求角α．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）根据条件可知：
f（x）=（1-tanx）•（1+sin2x+cos2x）-3=class="stub"cosx-sinx
cosx
(2cos2x+2sinxcosx)-3=2（cos2x-sin2x）-3=2cos2x-3
因为f（x）的定义域为{x|x≠kπ+class="stub"π
2
， k∈Z}，
∴-1＜cos2x≤1∴-5＜2cos2x-3≤-1
∴f（x）的值域为（-5，-1]，f（x）的最小正周期为π．

（2）f(class="stub"α
2
)-f(class="stub"α
2
+class="stub"π
4
)=2cosα-2cos(α+class="stub"π
2
)=2(cosα+sinα)=2
2
sin(α+class="stub"π
4
)=
6
．
所以，sin(α+class="stub"π
4
)=
3
2
，又因为α∈(0， class="stub"π
2
)，所以α+class="stub"π
4
=class="stub"π
3
或α+class="stub"π
4
=class="stub"2π
3
，
所以α=class="stub"π
12
或α=class="stub"5π
12
．

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