已知向量.m=(3sinx4,1),.n=(cosx4,cos2x4),f(x)=.m•.n.(1)若f(x)=1,求cos(x+π3)的值;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满

题目简介

已知向量.m=(3sinx4,1),.n=(cosx4,cos2x4),f(x)=.m•.n.(1)若f(x)=1,求cos(x+π3)的值;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满

题目详情

已知向量
.
m
=(
3
sin
x
4
,1),
.
n
=(cos
x
4
,cos2
x
4
),f(x)=
.
m
.
n

(1)若f(x)=1,求cos(x+
π
3
)的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足acosC+
1
2
c=b,求函数f(B)的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:成都一模

答案

(1)∵
m
=(
3
sinclass="stub"x
4
,1),
n
=(cosclass="stub"x
4
,cos2class="stub"x
4
),
∴f(x)=
m
n
=
3
sinclass="stub"x
4
cosclass="stub"x
4
+cos2class="stub"x
4
=
3
2
sinclass="stub"x
2
+class="stub"1
2
cosclass="stub"x
2
+class="stub"1
2
=sin(class="stub"x
2
+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2

又f(x)=1,
∴sin(class="stub"x
2
+class="stub"π
6
)=class="stub"1
2
,(4分)
∴cos(x+class="stub"π
3
)=cos2(class="stub"x
2
+class="stub"π
6
)=1-2sin2(class="stub"x
2
+class="stub"π
6
)=class="stub"1
2
;(6分)
(2)∵cosC=
a2+b2-c2
2ab
,acosC+class="stub"1
2
c=b,
∴a•
a2+b2-c2
2ab
+class="stub"1
2
c=b,即b2+c2-a2=bc,
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=class="stub"1
2

又∵A∈(0,π),∴A=class="stub"π
3
,(10分)
又∵0<B<class="stub"2π
3

class="stub"π
6
class="stub"B
2
+class="stub"π
6
class="stub"π
2

∴f(B)∈(1,class="stub"3
2
).(12分)

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