首页 > 已知函数f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4)，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（2）已知cos(β-α)=45，cos(β+α)=-45，0＜α＜β≤π2，求f（β）的值

已知函数f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4)，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（2）已知cos(β-α)=45，cos(β+α)=-45，0＜α＜β≤π2，求f（β）的值

题目简介

已知函数f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4)，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（2）已知cos(β-α)=45，cos(β+α)=-45，0＜α＜β≤π2，求f（β）的值

题目详情

已知函数f(x)=sin(x+
7π
4
)+cos(x-
3π
4
)，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）已知cos(β-α)=
4
5
，cos(β+α)=-
4
5
，0＜α＜β≤
π
2
，求f（β）的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f(x)=sin(x+class="stub"7π
4
)+cos(x-class="stub"3π
4
)
=sinxcosclass="stub"7π
4
+sinclass="stub"7π
4
cosx+cosxcosclass="stub"3π
4
+sinxsinclass="stub"3π
4

=
2
2
sinx-
2
2
cosx-
2
2
cosx+
2
2
sinx
∴f(x)=
2
sinx-
2
cosx=2sin(x-class="stub"π
4
)，
∴T=2π，f（x）max=2
（2）∵cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ=class="stub"4
5
，cos(β+α)=cosαcosβ-sinαsinβ=-class="stub"4
5

∴cosαcosβ=0
∵0＜α＜β≤class="stub"π
2
⇒cosβ=0⇒β=class="stub"π
2
，
∴f(β)=
2

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