首页 > 已知向量m=(cosx，-1)，向量n=(3sinx，-12)，函数f(x)=(m+n)•m．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=1，

已知向量m=(cosx，-1)，向量n=(3sinx，-12)，函数f(x)=(m+n)•m．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=1，

题目简介

已知向量m=(cosx，-1)，向量n=(3sinx，-12)，函数f(x)=(m+n)•m．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=1，

题目详情

已知向量
m
=(cosx，-1)，向量
n
=(
3
sinx，-
1
2
)，函数f(x)=(
m
+
n
)•
m
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=1，c=
3
，且f（A）恰是f（x）在[0，
π
2
]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵
m
+
n
=（cosx+
3
sinx，-class="stub"3
2
）
∴（
m
+
n
）•
m
=cosx（cosx+
3
sinx）+class="stub"3
2
=class="stub"1
2
（1+cos2x）+
3
2
sin2x+class="stub"3
2
…（2分）
∴f（x）=class="stub"1
2
（1+cos2x）+
3
2
sin2x+class="stub"3
2
=
3
2
sin2x+class="stub"1
2
cos2x+2=sin（2x+class="stub"π
6
）+2…（5分）．
∴f（x）的最小正周期T=class="stub"2π
2
=π．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（A）=sin（2A+class="stub"π
6
）+2
∵A为锐角，class="stub"π
6
＜2A+class="stub"π
6
＜class="stub"7π
6

∴当2A+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
时，即A=class="stub"π
6
时，f（x）有最大值3，…（8分）
由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，
∴1=b2+3-2×
3
×b×cosclass="stub"π
6
，∴b=1或b=2，…（10分）
∵△ABC的面积S=class="stub"1
2
bcsinA
∴当b=1时，S=class="stub"1
2
×1×
3
×sinclass="stub"π
6
=
3
4
；当当b=2时，S=class="stub"1
2
×2×
3
×sinclass="stub"π
6
=
3
2
．…（12分）
综上所述，得A=class="stub"π
6
，b=1，S△ABC=
3
4
或A=class="stub"π
6
，b=2，S△ABC=
3
2
．

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