已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)的定义域为R(1)当θ=0时,求f(x)的单调递减区间;(2)若θ∈(0,π),当θ为何值时,f(x)为奇函数.-数学

题目简介

已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)的定义域为R(1)当θ=0时,求f(x)的单调递减区间;(2)若θ∈(0,π),当θ为何值时,f(x)为奇函数.-数学

题目详情

已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)的定义域为R
(1)当θ=0时,求f(x)的单调递减区间;
(2)若θ∈(0,π),当θ为何值时,f(x)为奇函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)θ=0时,f(x)=sinx+cosx=
2
sin(x+class="stub"π
4
)

又由2kπ+class="stub"π
2
≤x+class="stub"π
4
≤2kπ+class="stub"3
2
π
,得2kπ+class="stub"π
4
≤x≤2kπ+class="stub"5
4
π

∴f(x)的单调递减区间为[2kπ+class="stub"π
4
,2kπ+class="stub"5
4
π]
k∈Z(6分)
(2)∵f(x)=
2
sin(x+θ+class="stub"π
4
)

又若f(x)为奇函数,则f(0)=0
sin(θ+class="stub"π
4
)=0

又0<θ<π,从而class="stub"π
4
<θ+class="stub"π
4
<class="stub"5
4
π

θ+class="stub"π
4

θ=class="stub"3
4
π
(12分)

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