已知函数f(x)=2sinωxcosωx-23sin2ωx+3(ω>0),的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)的单调增区间;(3)若f(α)=23,求cos(4α+23π)的值.-数

题目简介

已知函数f(x)=2sinωxcosωx-23sin2ωx+3(ω>0),的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)的单调增区间;(3)若f(α)=23,求cos(4α+23π)的值.-数

题目详情

已知函数f(x)=2sinωxcosωx-2
3
sin2ωx+
3
(ω>0)
,的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求函数f(x)的单调增区间;
(3)若f(α)=
2
3
,求cos(4α+
2
3
π)
的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为f(x)=2sinωxcosωx-2
3
sin2ωx+
3

=sin2ωx+
3
cos2ωx
=2sin(2ωx+class="stub"π
3
).
∵函数的周期是π,所以class="stub"2π

解得ω=1;
(2)由(1)可知f(x)=2sin(2x+class="stub"π
3
).
由2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"π
2
(k∈Z),
解得kπ-class="stub"5π
12
≤x≤kπ+class="stub"π
12
(k∈Z).
所以函数f(x)的单调增区间为[kπ-class="stub"5π
12
,kπ+class="stub"π
12
](k∈Z).
(3)由(1)可知f(x)=2sin(2x+class="stub"π
3
).
f(α)=class="stub"2
3
,所以class="stub"2
3
=2sin(2x+class="stub"π
3
).
∴sin(2x+class="stub"π
3
)=class="stub"1
3

cos(4α+class="stub"2
3
π)
=2sin2(2x+class="stub"π
3
)-1=2×(class="stub"1
3
)2-1
=-class="stub"7
9

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