首页 > 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin（A-B）+sinC．（1）求角B的大小；（2）若b2=ac，判断△ABC的形状；（3）求证：b•sin(C-π6)(2c-a)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin（A-B）+sinC．（1）求角B的大小；（2）若b2=ac，判断△ABC的形状；（3）求证：b•sin(C-π6)(2c-a)

题目简介

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin（A-B）+sinC．（1）求角B的大小；（2）若b2=ac，判断△ABC的形状；（3）求证：b•sin(C-π6)(2c-a)

题目详情

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin（A-B）+sinC．
（1）求角B的大小；
（2）若b2=ac，判断△ABC的形状；
（3）求证：
b•sin(C-
π
6
)
(2c-a)•cosB
为定值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵sinA=sin（A-B）+sinC，且sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinA=sinAcosB-cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
又sinA≠0，
∴cosB=class="stub"1
2
，又B为三角形的内角，
则B=class="stub"π
3
；
（2）∵b2=ac，cosB=class="stub"1
2
，
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：ac=a2+c2-ac，
即（a-c）2=0，
∴a=c，又B=class="stub"π
3
，
则△ABC为等边三角形；
（3）∵C=π-（A+B），B=class="stub"π
3
，
∴sin（C-class="stub"π
6
）=sin[π-（A+class="stub"π
3
）-class="stub"π
6
]=sin（class="stub"π
2
-A）=cosA，sinC=sin（A+B），
由正弦定理class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
=class="stub"c
sinC
化简得：
b•sin(C-class="stub"π
6
)
(2c-a)•cosB
=
sinB•sin(C-class="stub"π
6
)
(2sinC-sinA)•cosB
=
3
2
cosA
sin(A+class="stub"π
3
)- class="stub"1
2
sinA

=
3
2
cosA
class="stub"1
2
sinA+
3
2
cosA-class="stub"1
2
sinA
=1，
则
b•sin(C-class="stub"π
6
)
(2c-a)•cosB
为定值．

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