已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1(x∈R)(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,π2]上的最大值和最小值;(Ⅱ)若f(x0)=65,x0∈[π4,π2],求cos2x0

题目简介

已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1(x∈R)(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,π2]上的最大值和最小值;(Ⅱ)若f(x0)=65,x0∈[π4,π2],求cos2x0

题目详情

已知函数f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1(x∈R)
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,
π
2
]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x0)=
6
5
,x0∈[
π
4
π
2
],求cos2x0的值.
题型:解答题难度:中档来源:天津

答案

(1)由f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1,得
f(x)=
3
(2sinxcosx)+(2cos2x)-1)=
3
sin2x+cos2x=2sin(2x+class="stub"π
6

所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)=2sin(2x+class="stub"π
6
)在区间[0,class="stub"π
6
]上为增函数,在区间[class="stub"π
6
class="stub"π
2
]上为减函数,
又f(0)=1,f(class="stub"π
6
)=2,f(class="stub"π
2
)=-1,所以函数f(x)在区间[0,class="stub"π
2
]上的最大值为2,最小值为-1.
(Ⅱ)由(1)可知f(x0)=2sin(2x0+class="stub"π
6

又因为f(x0)=class="stub"6
5
,所以sin(2x0+class="stub"π
6
)=class="stub"3
5

由x0∈[class="stub"π
4
class="stub"π
2
],得2x0+class="stub"π
6
∈[class="stub"2π
3
class="stub"7π
6
]
从而cos(2x0+class="stub"π
6
)=-
1-sin2(2x0+class="stub"π
6
)
=-class="stub"4
5

所以
cos2x0=cos[(2x0+class="stub"π
6
)-class="stub"π
6
]=cos(2x0+class="stub"π
6
)cosclass="stub"π
6
+sin(2x0+class="stub"π
6
)sinclass="stub"π
6
=
3-4
3
10

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