首页 > 已知向量a=(sinωx，cosωx)，b=(cosωx，3cosωx)（ω＞0），函数f(x)=a•b-32的最小正周期为π．（I）求函数f（x）的单调增区间；（II）如果△ABC的三边a、b、c所

已知向量a=(sinωx，cosωx)，b=(cosωx，3cosωx)（ω＞0），函数f(x)=a•b-32的最小正周期为π．（I）求函数f（x）的单调增区间；（II）如果△ABC的三边a、b、c所

题目简介

已知向量a=(sinωx，cosωx)，b=(cosωx，3cosωx)（ω＞0），函数f(x)=a•b-32的最小正周期为π．（I）求函数f（x）的单调增区间；（II）如果△ABC的三边a、b、c所

题目详情

已知向量a=(sinωx，cosωx)，b=(cosωx，
3
cosωx)（ω＞0），函数f(x)=
a
•
b
-
3
2
的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的单调增区间；
（II）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足b2+c2=a2+
3
bc，求f（A）的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）f(x)=
a
•
b
-
3
2
=sinωxcosωx+
3
cos2ωx-
3
2
=class="stub"1
2
sin2ωx+
3
2
cos2ωx
=sin(2ωx+class="stub"π
3
)…（3分）
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0．
∴class="stub"2π
2ω
=π，解得ω=1，…（4分）
∴f(x)=sin(2x+class="stub"π
3
)．
由-class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
3
≤class="stub"π
2
+2kπ，k∈Z…（5分）
得f（x）的增区间为[-class="stub"5
12
π+kπ，class="stub"π
12
+kπ](k∈Z)…（6分）
（II）由b2+c2=a2+
3
bc，∴b2+c2-a2=
3
bc，
又由cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
3
bc
2bc
=
3
2
…（8分）
∴在△ABC中，A=class="stub"π
6
…（9分）
∴f(A)=sin(2×class="stub"π
6
+class="stub"π
3
)=sinclass="stub"2π
3
=
3
2
…（12分）

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