若函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x+a的最大值为1.(1)求常数a的值;(2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合.-数学

题目简介

若函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x+a的最大值为1.(1)求常数a的值;(2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合.-数学

题目详情

若函数f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x+a
的最大值为1.
(1)求常数a的值;
(2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x+a=
3
sin2x+(2cos2x-1)+a+1
…(2分)
=
3
sin2x+cos2x+a+1=2sin(2x+class="stub"π
6
)+a+1
…(5分)
所以f(x)max=a+3=1,得a=-2.…(7分)
(2)由(1)得f(x)=2sin(2x+class="stub"π
6
)-1
,因为f(x)≥0,所以,sin(2x+class="stub"π
6
)≥class="stub"1
2
,…(9分)
所以class="stub"π
6
+2kπ≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"5π
6
+2kπ
,…(12分)
kπ≤x≤class="stub"π
3
+kπ
,所以满足条件的x的取值集合为{x|kπ≤x≤class="stub"π
3
+kπ,k∈Z}
.…(14分)

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