已知函数f(x)=3sinx4cosx4+cos2x4.(1)若f(x)=1,求cos(2π3-x)的值;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acosC+12c=b,求f(B

题目简介

已知函数f(x)=3sinx4cosx4+cos2x4.(1)若f(x)=1,求cos(2π3-x)的值;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acosC+12c=b,求f(B

题目详情

已知函数f(x)=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4

(1)若f(x)=1,求cos(
3
-x)的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acosC+
1
2
c=b,求f(B)的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:蓝山县模拟

答案

(1)由题意得:函数f(x)=
3
sinclass="stub"x
4
•cosclass="stub"x
4
+cos2class="stub"x
4
=
3
2
sinclass="stub"x
2
+
1+cosclass="stub"x
2
2
=sin(class="stub"x
2
+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
.…(3分)
∵f(x)=1,即 sin(class="stub"x
2
+class="stub"π
6
)=class="stub"1
2

则 cos(class="stub"2π
3
-x)=2cos2(class="stub"π
3
-class="stub"x
2
)
-1=2sin2(class="stub"x
2
+class="stub"π
6
)
-1=-class="stub"1
2
.  …(6分)
(2)在△ABC中,由acosC+class="stub"1
2
c=b 可得 a•
a2+b2-c2
2ab
+class="stub"1
2
c=b,即 b2+c2-a2=bc,
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=class="stub"1
2

 再由0<A<π,可得A=class="stub"π
3
,∴B+C=class="stub"2π
3
.  …(9分)
∴0<B<class="stub"2π
3
,0<class="stub"B
2
class="stub"π
3
,∴class="stub"π
6
class="stub"B
2
+class="stub"π
6
class="stub"π
2
,∴class="stub"1
2
<sin( class="stub"B
2
+class="stub"π
6
)<1.
∴f(B)=sin( class="stub"B
2
+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
∈(1,class="stub"3
2
).   …(12分)

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