首页 > 在△ABC中，A=π6，B∈(π2，5π6)，BC=2．（Ⅰ）若B=2π3，求sinC；（Ⅱ）求证：AB=4sin(5π6-B)；（Ⅲ）求BA•BC的取值范围．-数学

在△ABC中，A=π6，B∈(π2，5π6)，BC=2．（Ⅰ）若B=2π3，求sinC；（Ⅱ）求证：AB=4sin(5π6-B)；（Ⅲ）求BA•BC的取值范围．-数学

题目简介

在△ABC中，A=π6，B∈(π2，5π6)，BC=2．（Ⅰ）若B=2π3，求sinC；（Ⅱ）求证：AB=4sin(5π6-B)；（Ⅲ）求BA•BC的取值范围．-数学

题目详情

在△ABC中，A=
π
6
，B∈(
π
2
，
5π
6
)，BC=2．
（Ⅰ）若B=
2π
3
，求sinC；
（Ⅱ）求证：AB=4sin(
5π
6
-B)；
（Ⅲ）求
BA
•
BC
的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）sinC=sin（π-A-B）=sinclass="stub"π
6
=class="stub"1
2
；
（Ⅱ）证明：在△ABC中，由正弦定理得class="stub"AB
sinC
=class="stub"BC
sinA
，
∵BC=2，sinA=class="stub"1
2
，B+C=class="stub"5π
6
，
∴AB=class="stub"BCsinC
sinA
=4sin（class="stub"5π
6
-B）；
（Ⅲ）∵|
BC
|=2，|
BA
|=4sin（class="stub"5π
6
-B），
∴
BA
•
BC
=|
BA
||
BC
|cosB=8sin（class="stub"5π
6
-B）cosB=8cosB（class="stub"1
2
cosB+
3
2
sinB）=4sin（2B+class="stub"π
6
）+2
=2+2cos2B+2
3
sin2B=4sin（2B+class="stub"π
6
）+2，
∵B∈（class="stub"π
2
，class="stub"5π
6
），∴2B+class="stub"π
6
∈（class="stub"7π
6
，class="stub"11π
6
），
∴sin（2B+class="stub"π
6
）∈[-1，-class="stub"1
2
），
则
BA
•
BC
=的取值范围是[-2，0）．

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