首页 > 设A、B、C是直线l上的三点，向量OA，OB，OC满足关系：OA+(y-3sinxcosx)OB-(12+sin2x)OC=0．（Ⅰ）化简函数y=f（x）的表达式；（Ⅱ）若函数g(x)=f(12x+π

设A、B、C是直线l上的三点，向量OA，OB，OC满足关系：OA+(y-3sinxcosx)OB-(12+sin2x)OC=0．（Ⅰ）化简函数y=f（x）的表达式；（Ⅱ）若函数g(x)=f(12x+π

题目简介

设A、B、C是直线l上的三点，向量OA，OB，OC满足关系：OA+(y-3sinxcosx)OB-(12+sin2x)OC=0．（Ⅰ）化简函数y=f（x）的表达式；（Ⅱ）若函数g(x)=f(12x+π

题目详情

设 A、B、C是直线l上的三点，向量
OA
，
OB
，
OC
满足关系：
OA
+(y-
3
sinxcosx)
OB
-(
1
2
+sin2x)
OC
=
0
．
（Ⅰ）化简函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数g(x)=f(
1
2
x+
π
3
)，x∈[0，
7π
12
]的图象与直线y=b的交点的横坐标成等差数列，试求实数b的值；
（Ⅲ）令函数h（x）=
2
（sinx+cosx）+sin2x-a，若对任意的x1，x2∈[0，
π
2
]，不等式h（x1）≤f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由已知可得
OA
=(-y+
3
sinxcosx)
OB
+(class="stub"1
2
+sin2x)
OC

∵A、B、C三点共线，∴-y+
3
sinxcosx+class="stub"1
2
+sin2x=1----------------------------------------，（2分）
则y=
3
sinxcosx+sin2x-class="stub"1
2
=
3
2
sin2x-class="stub"1
2
cos2x=sin(2x-class="stub"π
6
)
∴f(x)=sin(2x-class="stub"π
6
)--------------------------------（4分）
（Ⅱ）可得函数g(x)=f(class="stub"1
2
x+class="stub"π
3
)=sin[2(class="stub"1
2
x+class="stub"π
3
)-class="stub"π
6
]=sin(x+class="stub"π
2
)=cosx，x∈[0，class="stub"7π
2
]-----（5分）
设函数g（x）的图象与直线y=b的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且0≤x1＜x2＜x3≤class="stub"7π
2
，
由已知，有x1+x3=2x2，另一方面，结合图象的对称性有
x1+x2
2
=π，
x2+x3
2
=2π--------------------（7分）
∴x1=2π-x2，x3=4π-x2，代入x1+x3=2x2，解得x2=class="stub"3π
2
------------（8分）
再代入g（x）=cosx，得g（x2）=cosclass="stub"3π
2
=0，所以b=0------------------（9分）
（Ⅲ）不等式h（x1）≤f（x2）恒成立，只需要h（x）max≤f（x）min即可------------（10分）
令t=sinx+cosx=
2
sin(x+class="stub"π
4
)，则t2=1+2sinxcosx=1+sin2x，∴sin2x=t2-1
又t=sinx+cosx=
2
sin(x+class="stub"π
4
)，x∈[0，class="stub"π
2
]，则t∈[1，
2
]
函数h（x）转化为y=
2
t+t2-1-a=(t+
2
2
)2-a-class="stub"3
2
，t∈[1，
2
]，
当t=
2
时，函数取得最大值h（x）max=3-a-----------------------------------（12分）
又f(x)=sin(2x-class="stub"π
6
)在x∈[0，class="stub"π
2
]上的最小值为f(x)min=-class="stub"1
2
------------------（13分）
由h（x）max≤f（x）min得3-a≤-class="stub"1
2
即a≥class="stub"7
2
，
故实数a的取值范围是[class="stub"7
2
，+∞)--------14分

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网