已知向量m=(sinx,-1),向量n=(3cosx,-12),函数f(x)=(m+n)•m.(1)求f(x)的最小正周期T;(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=23

题目简介

已知向量m=(sinx,-1),向量n=(3cosx,-12),函数f(x)=(m+n)•m.(1)求f(x)的最小正周期T;(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=23

题目详情

已知向量
m
=(sinx,-1),向量
n
=(
3
cosx,-
1
2
),函数f(x)=(
m
+
n
)•
m

(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=2
3
,c=4,且f(A)恰是f(x)在[0,
π
2
]上的最大值,求A,b和△ABC的面积S.
题型:解答题难度:中档来源:梅州一模

答案

∵向量
m
=(sinx,-1),向量
n
=(
3
cosx,-class="stub"1
2
),
m
+
n
=(sinx+
3
cosx,-class="stub"3
2
),
由此可得f(x)=(
m
+
n
)•
m
=sinx(sinx+
3
cosx)+class="stub"3
2
=sin2x+
3
sinxcosx+class="stub"3
2

∵sin2x=class="stub"1-cos2x
2
,sinxcosx=class="stub"1
2
sin2x
∴f(x)=
3
2
sin2x-class="stub"1
2
cos2x+2=sin(2x-class="stub"π
6
)+2
(1)根据三角函数的周期公式,得周期T=class="stub"2π
2
=π;
(2)f(A)=sin(2A-class="stub"π
6
)+2,当A∈[0,class="stub"π
2
]时,f(A)的最大值为f(class="stub"π
3
)=3
∴锐角A=class="stub"π
3
,根据余弦定理,得cosA=
b2+c2-a2
2bc
=class="stub"1
2
,可得b2+c2-a2=bc
∵a=2
3
,c=4,
∴b2+16-12=4b,解之得b=2
根据正弦定理,得△ABC的面积为:S=class="stub"1
2
bcsinA=class="stub"1
2
×2×4sinclass="stub"π
3
=2
3

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