首页 > 已知函数f(x)=2sin(12x-π6)，x∈R（1）求f(4π3)的值；（2）设α，β∈[0，π2]，且α＜β，f(2α+2π)=1013，f(2β+π)=65，求sin（α-β）的值．-数学

已知函数f(x)=2sin(12x-π6)，x∈R（1）求f(4π3)的值；（2）设α，β∈[0，π2]，且α＜β，f(2α+2π)=1013，f(2β+π)=65，求sin（α-β）的值．-数学

题目简介

已知函数f(x)=2sin(12x-π6)，x∈R（1）求f(4π3)的值；（2）设α，β∈[0，π2]，且α＜β，f(2α+2π)=1013，f(2β+π)=65，求sin（α-β）的值．-数学

题目详情

已知函数f(x)=2sin(
1
2
x-
π
6
)，x∈R
（1）求f(
4π
3
)的值；
（2）设α，β∈[0，
π
2
]，且α＜β，f(2α+2π)=
10
13
，f(2β+π)=
6
5
，求sin（α-β）的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f(class="stub"4π
3
)=2------------------------------------（1分）
f（2α+2π）=2sin（α+class="stub"5π
6
）=class="stub"5
13
，f(2β+π)=2sin(β+class="stub"π
3
)=class="stub"6
5

由α，β∈[0，class="stub"π
2
]，得出class="stub"5π
6
≤α+class="stub"5π
6
≤class="stub"4π
3
，所以cos（α+class="stub"5π
6
）=-class="stub"12
13

class="stub"π
3
≤β+class="stub"π
3
≤class="stub"5π
6
，所以cos（β+class="stub"π
3
）=-±class="stub"4
5

因为α-β=（α+class="stub"5π
6
）-（β+class="stub"π
3
）-class="stub"π
2

所以sin(α-β)=sin[(α+class="stub"5π
6
)-(β+class="stub"π
3
)-class="stub"π
2
]=-cos[(α+class="stub"5π
6
)-(β+class="stub"π
3
)]--------------------------------------------------（2分）
=-[cos(α+class="stub"5π
6
)cos(β+class="stub"π
3
)+sin(α+class="stub"5π
6
)sin(β+class="stub"π
3
)]---------------（1分）
当cos(β+class="stub"π
3
)=class="stub"4
5
时，sin(α-β)=class="stub"33
65
又因为-class="stub"π
2
≤α-β≤0，
所以sin(α-β)=class="stub"33
65
（舍去）-------------------------------------（1分）
当cos(β+class="stub"π
3
)=-class="stub"4
5
时，因为-class="stub"π
2
≤α-β≤0，sin（α-β）＜0
所以sin(α-β)=-class="stub"63
65
-----------------------------------------------------------------------------------（1分）
（另外可以这样限角   由0≤β≤class="stub"π
2
有class="stub"π
3
≤β+class="stub"π
3
≤class="stub"5π
6

又因为class="stub"1
2
＜sin(β+class="stub"π
3
)=class="stub"3
5
＜
2
2
在[0，class="stub"π
2
]内β+class="stub"π
3
∈[class="stub"π
6
，class="stub"π
4
]
所以应该β+class="stub"π
3
∈[class="stub"π
2
，class="stub"5π
6
]所以cos(β+class="stub"π
3
)=-class="stub"4
5
）

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