已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx+2sin2(3π2-x)-1(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[π4,3π4]上的最大值和最小值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx+2sin2(3π2-x)-1(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[π4,3π4]上的最大值和最小值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx+2sin2
2
-x)-1
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[
π
4
4
]
上的最大值和最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)由题意,得
f(x)=2sin(π-x)cosx+2sin2(class="stub"3π
2
-x)-1
=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x,
∴f(x)=sin2x+cos2x=
2
sin(2x+class="stub"π
4
)
.…..(3分)
可得f(x)的最小正周期T=class="stub"2π
2
…..(5分)
又∵由-class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
4
≤class="stub"π
2
+2kπ,k∈Z
,解得-class="stub"3π
8
+kπ≤x≤class="stub"π
8
+kπ,k∈Z

∴函数f(x)的单调递增区间:[-class="stub"3π
8
+kπ,class="stub"π
8
+kπ],k∈Z
…..(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=
2
sin(2x+class="stub"π
4
)

class="stub"π
4
≤x≤class="stub"3π
4
,得class="stub"3π
4
≤2x+class="stub"π
4
≤class="stub"7π
4
.…..(8分)
∴当2x+class="stub"π
4
=class="stub"3π
4
,即x=class="stub"π
4
时,函数f(x)有最大值是1;…..(10分)
2x+class="stub"π
4
=class="stub"3π
2
,即x=class="stub"5π
8
时,函数f(x)有最小值是-
2
.…..(11分)
综上所述,函数f(x)在区间[class="stub"π
4
,class="stub"3π
4
]
上的最大值是1,最小值是-
2
.…..(12分)

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