已知f(x)=cosx(3sinx+cosx)(1)当x∈[0,π2],求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x;(2)若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边,且b•c=6-2,f(A)=12,

题目简介

已知f(x)=cosx(3sinx+cosx)(1)当x∈[0,π2],求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x;(2)若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边,且b•c=6-2,f(A)=12,

题目详情

已知f(x)=cosx(
3
sinx+cosx)

(1)当x∈[0,
π
2
]
,求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x;
(2)若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边,且b•c=
6
-
2
,f(A)=
1
2
,试求△ABC的面积S.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=cosx(
3
sinx+cosx)=
3
2
sin2x+class="stub"1+cos2x
2
=sin(2x+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
x∈[0,class="stub"π
2
]
,可得(2x+class="stub"π
6
)∈[class="stub"π
6
class="stub"7π
6
],
sin(2x+class="stub"π
6
)∈[-class="stub"1
2
,1],故f(x)的值域为[0,class="stub"3
2
]
,当x=class="stub"π
6
时,函数f(x)取得最大值class="stub"3
2
.…(6分)
(2)由f(A)=class="stub"1
2
=sin(2A+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
,可得sin(2A+class="stub"π
6
)=0,A=class="stub"5π
12
,故 sinA=sin(class="stub"π
4
+class="stub"π
6
)=sinclass="stub"π
4
cosclass="stub"π
6
+cosclass="stub"π
4
sinclass="stub"π
6
=
6
+
2
4

可得△ABC的面积S=class="stub"1
2
bc•sinA=class="stub"1
2
×(
6
-
2
6
+
2
4
=class="stub"1
2
.…(6分)

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