首页 > 已知函数f（x）=73sinxcosx+7sin2x-52，x∈R．（Ⅰ）若f（x）的单调区间（用开区间表示）；（Ⅱ）若f（a2-π6）=1+43，f（a2-5π12）=2，求sin（a2-π3）的值

已知函数f（x）=73sinxcosx+7sin2x-52，x∈R．（Ⅰ）若f（x）的单调区间（用开区间表示）；（Ⅱ）若f（a2-π6）=1+43，f（a2-5π12）=2，求sin（a2-π3）的值

题目简介

已知函数f（x）=73sinxcosx+7sin2x-52，x∈R．（Ⅰ）若f（x）的单调区间（用开区间表示）；（Ⅱ）若f（a2-π6）=1+43，f（a2-5π12）=2，求sin（a2-π3）的值

题目详情

已知函数f（x）=7
3
sinxcosx+7sin2x-
5
2
，x∈R．
（Ⅰ）若f（x）的单调区间（用开区间表示）；
（Ⅱ）若f（
a
2
-
π
6
）=1+4
3
，f（
a
2
-
5π
12
）=2，求sin（
a
2
-
π
3
）的值．
题型：解答题难度：中档来源：武清区一模

答案

（Ⅰ）由题意得：函数f（x）=7
3
sinxcosx+7sin2x-class="stub"5
2
=
7
3
2
sin2x+7×class="stub"1-cos2x
2
-class="stub"5
2
 
=7（
3
2
sin2x-class="stub"1
2
cos2x）+1=7sin（2x-class="stub"π
6
）+1．
令 2kπ-class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
，k∈z，可得 kπ-class="stub"π
6
≤x≤kπ+class="stub"π
3
，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-class="stub"π
6
，kπ+class="stub"π
3
]，k∈z．
令 2kπ+class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"3π
2
，k∈z，可得 kπ+class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"5π
6
，k∈z，
故函数的减区间为[kπ+class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"5π
6
]，k∈z．
（Ⅱ）∵f（class="stub"a
2
-class="stub"π
6
）=1+4
3
，
∴7sin[2（class="stub"a
2
-class="stub"π
6
）-class="stub"π
6
]+1=7sin（a-class="stub"π
2
）+1=-7cosa+1=1+4
3
，
∴cosa=
-4
3
7
．
∵f（class="stub"a
2
-class="stub"5π
12
）=2，∴7sin[2（class="stub"a
2
-class="stub"5π
12
）-class="stub"π
6
]+1=7sin[a-π]+1=-7sina+1=2，
∴sina=-class="stub"1
7
．
故a为第三象限角，且 2kπ+π＜a＜2kπ+class="stub"5π
4
，k∈z，故 kπ+class="stub"π
2
＜class="stub"a
2
＜kπ+class="stub"5π
8
，k∈z．
故 class="stub"a
2
是第二或第四象限角．
当 class="stub"a
2
是第二象限角时，sin class="stub"a
2
=
class="stub"1-cosa
2
=
7+4
3
14
=
2+
3
14
，
cos class="stub"a
2
=-
class="stub"1+cosa
2
=-
7-4
3
14
=-
2-
3
14
． 
sin（class="stub"a
2
-class="stub"π
3
）=sin class="stub"a
2
 cosclass="stub"π
3
-cosclass="stub"a
2
sinclass="stub"π
3
=
2+
3
14
×class="stub"1
2
-（ -
2-
3
14
）×
3
2
=
3
3
-1
2
14
．
当 class="stub"a
2
是第四象限角时，sin class="stub"a
2
=-
class="stub"1-cosa
2
=-
7+4
3
14
=-
2+
3
14
，
cos class="stub"a
2
=
class="stub"1+cosa
2
=
7-4
3
14
=
2-
3
14
． 
sin（class="stub"a
2
-class="stub"π
3
）=sin class="stub"a
2
 cosclass="stub"π
3
-cosclass="stub"a
2
sinclass="stub"π
3
=-
2+
3
14
×class="stub"1
2
-
2-
3
14
×
3
2
=
1-3
3
2
14
．

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